Как связаны линейное и угловое ускорение

Содержание

Тангенциальное, или касательное ускорение

Все тела, которые окружают нас, находятся в постоянном движении. Перемещение в пространстве тел наблюдается на всех масштабных уровнях, начиная с движения элементарных частиц в атомах вещества и заканчивая ускоренным движением галактик во Вселенной. В любом случае процесс движения происходит с ускорением. В данной статье рассмотрим подробно понятие касательного ускорения и приведем формулу, по которой его можно рассчитать.

Вращение твердых тел и формулы углового ускорения

Все виды движения, с которыми человек сталкивается на протяжении своей жизни, изучаются в физике в рамках законов классической механики Ньютона. В данной статье речь пойдет о вращении твердых тел, об уравнениях, которые его описывают, и о формулах углового ускорения.

Понятие об угловом ускорении. Формулы кинематики и динамики вращения. Пример задачи

Вращение тел является одним из важных типов механического движения в технике и природе. В отличие от линейного перемещения, оно описывается собственным набором кинематических характеристик. Одной из них является угловое ускорение. Охарактеризуем эту величину в статье.

Угловое ускорение

Система понятий кинематики включает в себя также такую величину как угловое ускорение тела. Дадим ей определение, рассмотрим основные аспекты с использованием примеров.

В чем измеряется угловое ускорение? Пример задачи на вращение

Движение по окружности или вращательное перемещение твердых тел является одним из важных процессов, который изучают разделы физики – динамика и кинематика. Данную статью посвятим рассмотрению вопроса, в чем измеряется угловое ускорение, которое появляется во время вращения тел.

Физический смысл ускорения. Угловое ускорение и ускорение свободного падения

Ключом к успеху решения задач по физике является четкое понимание смысла величины, которую требуется найти. Знание конкретной формулы не является достаточным для решения практических задач, поскольку многие из них не предполагают использование определенной математической зависимости между величинами. Эту зависимость необходимо получить самостоятельно. В данной статье объясним, в чем состоит физический смысл ускорения.

Задача обучения

  • Найти контакт между углом поворота, угловыми скоростью и ускорением с их соответствиями в линейной кинематике.

Основные понятия

Угловое ускорение – величина, характеризующая изменение скорости с течением времени.

Пусть рассматриваемый промежуток времени это: Δ t = t 1 – t , а изменение угловой скорости составит Δ ω = ω 1 – ω , тогда числовое значение среднего углового ускорения за тот же интервал времени: ε = ∆ ω ∆ t = ε . Перейдем к пределу, когда Δ t > 0 , тогда формула углового ускорения будет иметь вид: ε = l i m ∆ t → 0 ∆ ω ∆ t = d ω d t = d 2 φ d t = ω ˙ = φ ¨ .

Числовое значение ускорения в заданный момент времени есть первая производная от угловой скорости или вторая производная от угла поворота по времени.

Размерность углового ускорения 1 T 2 (т.е. 1 в р е м я 2 ). Укажем также, в чем измеряется угловое ускорение: за единицу измерения стандартно принимается р а д / с 2 или иначе: 1 с 2 ( с – 2 ) .

Ускоренное вращение тела – это вращение, при котором угловая скорость (ее модуль) возрастает с течением времени.

Замедленное вращение тела – это вращение, при котором угловая скорость (ее модуль) убывает с течением времени.

В общем, довольно просто заметить, что, если ω и ε имеют одинаковые знаки, наблюдается ускоренное вращение, а, когда противоположные знаки – замедленное.

Основные понятия

Рисунок 1 . Вектор углового ускорения

Если мы представим угловое ускорение как вектор ε → = d ω → d t , имеющий направление вдоль оси вращения, то в случае ускоренного вращения ε → и ω → совпадут по направлениям (левая часть
рисунка 1 ) и будут противоположны по направлениям в случае замедленного вращения (правая часть
рисунка 1 ).

Вращение в природе и технике

Вращение шестерен

Прежде чем изучать угловое ускорение и формулы, которые позволяют его определить, рассмотрим, что представляет собой процесс вращения.

Сокровища - это. Значение слова, фильмы с этим словом и не только Вам будет интересно: Сокровища – это. Значение слова, фильмы с этим словом и не только

В физике под вращением понимают такой тип движения, при котором каждая точка тела произвольной формы или материальная точка движется по круговой траектории. Через центр этой траектории перпендикулярно ее плоскости проходит ось вращения. Рассматриваемый тип перемещения в пространстве может происходить с постоянной скоростью или с переменной. В последнем случае говорят о наличие у тела ускорения.

Примерами вращения в быту являются движение лопастей вентилятора, вращение колес велосипеда и автомобиля, вращение ножей блендера или рабочей части миксера, движение валов и шестерен. В природе также можно наблюдать этот тип движения, например, перемещение нашей Земли вокруг Солнца и ее суточное вращение вокруг своей оси.

Движение вращения

Прежде чем говорить об угловом ускорении, опишем тип движения, к которому оно применяется. Речь идет о вращении, которое представляет собой перемещение тел по круговым траекториям. Чтобы вращение происходило, необходимо выполнение некоторых условий:

  • наличие оси или точки вращения;
  • наличие центростремительной силы, которая бы удерживала на круговой орбите тело.

Примерами этого типа движения являются различные аттракционы, например карусель. В технике вращение проявляет себя при движении колес и валов. В природе самым ярким примером этого типа движения является вращение планет вокруг собственной оси и вокруг Солнца. Роль центростремительной силы в названных примерах играют силы межатомного взаимодействия в твердых телах и гравитационное взаимодействие.

Вращение планет

Понятие об угловом ускорении

Вращение без углового ускорения

Очевидно, что прежде чем давать ответ на вопрос, в чем измеряется угловое ускорение в физике, следует познакомиться с самим понятием.

В механике линейного движения ускорение играет роль меры быстроты изменения скорости и вводится в физику через второй закон Ньютона. В случае вращательного движения существует аналогичная линейному ускорению величина, которая называется ускорением угловым. Формула для его определения записывается в виде:

То есть угловое ускорение α является первой производной угловой скорости ω по времени. Так, если скорость во время вращения не изменяется, то ускорение будет равно нулю. Если же скорость линейно зависит от времени, например, увеличивается постоянно, то ускорение α примет постоянное ненулевое положительное значение. Отрицательное значение α говорит о том, что система замедляет свое вращение.

Как рассчитать угловое ускорение?

В общем, мгновенное угловое ускорение определяется из следующего выражения:

В этой формуле ω – угловая скорость вектора, а t – время.

Среднее угловое ускорение также можно рассчитать из следующего выражения:

В частном случае плоского движения бывает, что как угловая скорость, так и угловое ускорение являются векторами с направлением, перпендикулярным плоскости движения..

С другой стороны, модуль углового ускорения можно рассчитать по линейному ускорению с помощью следующего выражения:

В этой формуле а – тангенциальное или линейное ускорение; и R – радиус вращения кругового движения.

Круговое движение равномерно ускорено

Как уже упоминалось выше, угловое ускорение присутствует в равномерно ускоренном круговом движении. По этой причине интересно знать уравнения, которые управляют этим движением:

θ = θ0 + ω0 ∙ t + 0,5 ∙ α ∙ t 2

В этих выражениях θ – угол, пройденный в круговом движении, θ0 начальный угол, ω0 начальная угловая скорость, а ω угловая скорость.

Крутящий момент и угловое ускорение

В случае линейного движения, согласно второму закону Ньютона, для того, чтобы тело приобрело определенное ускорение, требуется сила. Эта сила является результатом умножения массы тела и ускорения, которое испытало то же самое.

Однако в случае кругового движения сила, необходимая для придания углового ускорения, называется крутящим моментом. Короче говоря, крутящий момент можно понимать как угловую силу. Обозначается греческой буквой τ (произносится «тау»).

Аналогичным образом, необходимо учитывать, что во вращательном движении момент инерции I тела выполняет роль массы в линейном движении. Таким образом, крутящий момент кругового движения рассчитывается по следующему выражению:

В этом выражении I – момент инерции тела относительно оси вращения.

Кинематика движения

Научный подход к изучению движения в физике стал применяться не так уж давно. В XVII, благодаря достижениям таких ученых, как Галилео Галилей и Исаак Ньютон, человечество, наконец, научилось предсказывать с использованием математического аппарата поведение тел во время их движения.

Бесцеремонность — это отсутствие уважения к людям Вам будет интересно: Бесцеремонность — это отсутствие уважения к людям

Кинематика – это один из двух важных разделов физики (второй – динамика), который использует научный подход к описанию характеристик движения. В кинематике не заостряют внимание на причинах начала движения объектов. Ее основной задачей является определение координат тела в момент любой времени. Для решения этой задачи кинематика располагает набором характеристик, связанных в уравнения. Основными характеристиками являются путь пройденный, скорость и ускорение. Физический смысл последней величины рассмотрим далее в статье.

Какими величинами описывают вращение?

Троллейбус - это городской вид транспорта Вам будет интересно: Троллейбус – это городской вид транспорта

Поскольку рассматриваемый вид движения происходит по круговой траектории, то оказывается удобным описать его с помощью величин, которые используют величину угла кругового сектора. Перечислим эти величины.

Угол θ – это центральный угол кругового сектора. Для наглядности он показан ниже на рисунке.

Центральный угол кругового сектора

Здесь дуга AB – это расстояние, которое прошло вращающееся тело за некоторый промежуток времени t. Используя соответствующую пропорцию, можно получить связь между длиной этой дуги L и углом θ, выраженным в радианах. Эта связь имеет следующий математический вид:

Символом r обозначен радиус окружности. Напомним, что один оборот по круговой траектории соответствует углу θ = 2 × pi.

Следующая важная кинематическая величина вращения – это скорость. Ее, как правило, обозначают греческой буквой ω (омега) и определяют в радианах в секунду. Отличие этой скорости, которая называется угловой, от ее линейного аналога является очевидным, поскольку последняя измеряется в метрах в секунду. Математически величина ω определяется так:

То есть угловая скорость показывает быстроту поворота тела. Записанное выражение называется мгновенной скоростью, вычисленной в бесконечно малый промежуток времени (t; t + dt). Формула для средней скорости ωm запишется в виде:

При этом на угловом промежутке θ мгновенная скорость ω может значительно изменяться.

Наконец, третьей важной величиной, которая используется для описания неравномерного движения по окружности, является угловое ускорение α. Эта величина показывает как изменяется скорость на данном промежутке времени. Формула углового ускорения через скорость угловую выглядит следующим образом:

Отсюда следует, что единицей измерения α является радиан в квадратную секунду (рад/с2).

Кинематические характеристики вращения

К этим характеристикам относятся три величины: угловое ускорение, угловая скорость и угол поворота. Будем обозначать их греческими символами α, ω и θ соответственно.

Так как тело движется по окружности, то удобно рассчитывать угол θ, на который оно повернется за определенное время. Этот угол выражается в радианах (реже в градусах). Поскольку окружность имеет 2 × pi радиан, то можно записать равенство, связывающее θ с длиной дуги L поворота:

Где r – радиус вращения. Эту формулу несложно получить, если вспомнить соответствующее выражение для длины окружности.

Движение вращения

Угловая скорость ω, как и ее линейный аналог, описывает быстроту поворота вокруг оси, то есть она определяется согласно следующему выражению:

Величина ω¯ является векторной. Направлена она вдоль оси вращения. Единицей ее измерения является радиан в секунду (рад/с).

Наконец, угловое ускорение – это физическая характеристика, которая определяет быстроту изменения величины ω¯, что математически записывается так:

Вектор α¯ направлен в сторону изменения вектора скорости ω¯. Далее будет сказано, что угловое ускорение направлено в сторону вектора момента силы. Измеряют эту величину в радианах в квадратную секунду (рад/с 2 ).

примеров

Первый пример

Определить мгновенное угловое ускорение движущегося тела, совершающего вращательное движение, с учетом выражения его положения во вращении Θ (t) = 4 т. 3 я. (Где i – единичный вектор в направлении оси x).

Также определите значение мгновенного углового ускорения, когда прошло 10 секунд с начала движения..

решение

Выражение угловой скорости можно получить из выражения положения:

ω (t) = d Θ / dt = 12 т 2 я (рад / с)

Как только мгновенная угловая скорость была вычислена, мгновенное угловое ускорение может быть вычислено как функция времени.

α (t) = dω / dt = 24 t i (рад / с) 2 )

Чтобы вычислить значение мгновенного углового ускорения по истечении 10 секунд, необходимо только заменить значение времени в предыдущем результате..

α (10) = = 240 i (рад / с) 2 )

Второй пример

Определите среднее угловое ускорение тела, которое испытывает круговое движение, зная, что его начальная угловая скорость была 40 рад / с и что через 20 секунд она достигла угловой скорости 120 рад / с..

решение

Из следующего выражения вы можете рассчитать среднее угловое ускорение:

Третий пример

Каково будет угловое ускорение колеса, которое начинает двигаться с равномерно ускоренным круговым движением, пока через 10 секунд оно не достигнет угловой скорости в 3 оборота в минуту? Каким будет тангенциальное ускорение кругового движения в этот период времени? Радиус колеса составляет 20 метров.

решение

Во-первых, необходимо преобразовать угловую скорость из оборотов в минуту в радианы в секунду. Для этого выполняется следующее преобразование:

ωF = 3 об / мин = 3 ∙ (2 ∙ Π) / 60 = Π / 10 рад / с

Как только это преобразование выполнено, можно рассчитать угловое ускорение, учитывая, что:

Π / 10 = 0 + α ∙ 10

α = Π / 100 рад / с 2

А тангенциальное ускорение возникает в результате действия следующего выражения:

Динамика вращения и угловое ускорение

Момент силы и вращение

Вспоминая законы Ньютона для движения, можно сказать, что любое изменение в механическом перемещении твердого тела связано с действием некоторой внешней силы. В случае вращения рассматривают не саму силу, а ее момент. Последний равен векторному произведению силы на вектор расстояния от оси до точки приложения силы, то есть:

Этот момент приводит либо к торможению вращения, либо к его ускорению. В обоих случаях уравнение движения в скалярной форме записывается в виде:

Где I момент инерции (аналог массы тела для прямолинейного движения). Последнее равенство позволяет записать формулу для вычисления углового ускорения в динамике:

Таким образом, зная моменты силы и инерции, можно рассчитать ускорения α.

Термины

  • Кинематика – раздел механики, связанный с перемещающимися объектами, но не с включенными силами.
  • Угловой – относится к углу или углам, обладающий углом, формирование угла и т.д.

Даже интуитивно можно догадаться о связи вращательных величин: θ (угол поворота), ω (угловая скорость) и α (угловое ускорение). Если колесо велосипеда долгое время наделено большим угловым ускорением, то оно вращается очень быстро и совершает множество оборотов. Пройденная дистанция останется прежней.

Практические примеры

На рисунке 2 заданы различные типы вращения гироскопа (волчка). С учетом соответствующих подписей необходимо указать, какой рисунок верно демонстрирует направление углового ускорения.

Практические примеры

Решение

Правило буравчика (правого винта) связывает направление вращения и псевдовектор угловой скорости. Рисунки 2 . 1 . и 2 . 3 . показывают направление псевдовектора вверх, а рисунки 2 . 2 . и 2 . 4 . – вниз.

Когда угловая скорость возрастает, ее приращение и вектор ускорения совпадут с вектором угловой скорости (рисунки 2 . 1 . и 2 . 4 . ). Когда угловая скорость будет уменьшаться, ее приращение и вектор ускорения окажутся противоположно направлены вектору угловой скорости (рисунки 2 . 2 . и 2 . 3 . ). Таким образом, все рисунки демонстрируют верное направление углового ускорения.

Пусть задана некоторая материальная точка, совершающая движение по окружности с радиусом R . При этом выражение ϕ = α t 3 отражает зависимость угла поворота от времени. Необходимо найти полное ускорение заданной точки как функцию времени.

Решение

Запишем выражения для угловой скорости и углового ускорения заданной точки:

ω = d φ d t = 3 α t 2 ; ε = 6 α t .

Полное ускорение запишем как:

a = a r 2 + a n 2 = R ε 2 + ω 4 = R 36 a 2 t 2 + 81 a 4 t 8 = 3 a t R 4 + 9 a 2 t 6 .

Ускорение – векторная характеристика

Скорость – это вектор, который направлен по касательной к линии, вдоль которой движется тело. Производная по времени от вектора – это также вектор, то есть ускорение векторной характеристикой является. Тем не менее, его направление не имеет ничего общего с вектором скорости v. Ускорение a направлено туда, куда и вектор изменения скорости. Например, в случае прямолинейного перемещения тел вектора величин a и v всегда будут лежать на одной прямой, поэтому существует два возможных варианта их взаимной ориентации:

  • они направлены в одну сторону;
  • они направлены противоположно друг другу.

В первом из названных случаев тело увеличивает свою скорость, то есть ускоряется. Во втором случае происходит торможение тела.

Вектора скорости и ускорения

В случае криволинейного движения функция v(t) изменяется не только по модулю, но и по направлению. Ускорение описывает оба типа изменения скорости, поэтому его вектор направлен под некоторым углом к вектору величины v. Классическим примером является движение равномерное по окружности. Модуль скорости в этом случае остается постоянным, однако изменяется ее вектор. В результате соответствующее ускорение будет направлено к центру окружности. Оно называется нормальным или центростремительным.

Кинематические уравнения

Кинематика – характеристика перемещения. Мы уже рассматривали кинематические формулы линейного перемещения при стабильном ускорении:

Также вращательное смещение характеризует связь угла поворота, временного промежутка, угловых скорости и ускорения. Давайте начнем с поиска формулы для ω, α и t. Используем аналогичную формулу для линейного движения:

Здесь а также выступает постоянной, поэтому и угловое ускорение α – постоянное и может использовать соотношение: a = rα (r – радиус кривой). Дальше выплывают следующие соотношения:

Используя соотношения a = rα, v = rω и x = rθ, получаем все остальные формулы для вращательного движения при стабильном ускорении:

Эти формулы можно применять для решения задач вращательной и поступательной кинетики, где a и α выступают постоянными.

Здесь отображено равномерное круговое движение и некоторые из определенных величин

Получение уравнения касательного ускорения

Компоненты ускорения в точках

Предположим, что тело движется по некоторой кривой траектории. Тогда его скорость v¯ в выбранной точке можно представить в следующем виде:

Здесь v — модуль вектора v¯, ut¯ — единичный вектор скорости, направленный по касательной к траектории.

Используя математическое определение ускорения, получаем:

При нахождении производной здесь использовалось свойство произведения двух функций. Мы видим, что полное ускорение a¯ в рассматриваемой точке соответствует сумме двух слагаемых. Они являются касательным и нормальным ускорением точки соответственно.

Скажем пару слов о нормальном ускорении. Оно ответственно за изменение вектора скорости, то есть за изменение направления движения тела вдоль кривой. Если явно вычислить значение второго слагаемого, то получится формула для нормального ускорения:

Нормальное ускорение направлено вдоль нормали, восстановленной в данную точку кривой. В случае движения по окружности нормальное ускорение является центростремительным.

Уравнение касательного ускорения at¯ имеет вид:

Это выражение говорит о том, что тангенциальное ускорение соответствует изменению не направления, а модуля скорости v¯ за момент времени. Поскольку тангенциальное ускорение направлено по касательной к рассматриваемой точки траектории, то оно всегда перпендикулярно нормальной компоненте.

Кинематика ускоренного вращения

Если скорость вращения в течение некоторого времени не изменяет своей величины, то говорить об угловом ускорении тела не приходится, поскольку оно равно нулю. Если же скорость изменяется с течением времени, то движение называется ускоренным. Для него справедлива формула:

Это равенство справедливо только тогда, когда α не является функцией времени, то есть α = const. Такое движение называется равноускоренным.

Угол поворота для равноускоренного движения тела с места, то есть при отсутствии начальной скорости вращения, можно вычислить так:

Отсюда получаем формулу углового ускорения через центральный угол поворота:

Отметим, если тело сначала вращалось без ускорения со скоростью ω0, а затем, начало двигаться ускоренно, то для пройденного им углового расстояния можно записать:

Отсюда несложно получить соответствующее выражение для α.

Тангенциальное ускорение и модуль полного ускорения

Компоненты ускорения и угол

Выше была представлена вся информация, которая позволяет вычислить полное ускорение через касательное и нормальное. Действительно, так как обе компоненты являются взаимно перпендикулярными, то их вектора образуют катеты прямоугольного треугольника, гипотенузой которого является вектор полного ускорения. Этот факт позволяет записать формулу для модуля полного ускорения в следующем виде:

Угол θ между полным ускорением и тангенциальным можно определить так:

Чем больше тангенциальное ускорение, тем ближе оказываются направления касательного и полного ускорения.

Связь между линейным и угловым ускорением

Вращение Земли

Линейное ускорение a показывает прирост скорости v за время t. Эта величина измеряется в метрах в секунду квадратную, то есть:

Чтобы найти связь между величинами a и α обратимся к следующей формуле, приведенной ранее:

Возьмем производную от левой и правой части равенства по времени, получим:

Возьмем еще раз производную по dt:

Мы получили формулу связи линейного и углового ускорений. Выражение показывает, что при постоянном ускорении α, величина a будет возрастать линейно с увеличением радиуса вращения.

Свободное падение

Свободное падение

Под падением свободным в физике понимают только под действием силы тяжести движение тел. Эта сила вычисляется по следующей формуле:

Здесь m – инерционная масса тела, g – постоянная величина вблизи поверхности планеты Земля. Она называется ускорением свободного падения. Физический смысл ускорения следующий: если тело падает свободно вертикально вниз, то за каждую секунду движения его скорость возрастать будет на 9,81 м/с. Наоборот, если брошено вверх вертикально тело, то скорость его за каждую секунду будет уменьшаться на величину g. Если начало движения тела осуществляется под некоторым углом к горизонту, то рассуждения выше справедливы только для вертикальной составляющей полной скорости.

Решение задачи

Известно, что автомобиль движется с линейным ускорением 2 м/с2. Необходимо определить угловое ускорение его колеса, если диаметр колеса равен 40 см.

Движение автомобиля с ускорением

Решение этой задачи можно выполнить, проведя последовательные математические выкладки, и переходя от линейных характеристик к угловым. Однако, выше было приведено равенство, связывающее величины a и α. Оно позволяет записать формулу углового ускорения колеса. Имеем:

Определение тангенциального ускорения по известной функции скорости

Известно, что скорость тела, которое перемещается по некоторой кривой траектории, описывается следующей функцией от времени:

Необходимо определить формулу касательного ускорения и найти его значение в момент времени t = 5 секунд.

Сначала запишем формулу для модуля тангенциального ускорения:

То есть для вычисления функции at(t) следует определить производную скорости по времени. Имеем:

at = d(2*t2 + 3*t + 5)/dt = 4*t + 3

Подставляя в полученное выражение время t = 5 секунд, приходим к ответу: at = 23 м/с2.

Заметим, что графиком скорости от времени в данной задаче является парабола, график же тангенциального ускорения – это прямая линия.

Оцените статью
Рейтинг автора
4,8
Материал подготовил
Максим Коновалов
Наш эксперт
Написано статей
127
А как считаете Вы?
Напишите в комментариях, что вы думаете – согласны
ли со статьей или есть что добавить?
Добавить комментарий

Adblock
detector