Формула зависимости угловой и линейной скорости

Угловое ускорение

Система понятий кинематики включает в себя также такую величину как угловое ускорение тела. Дадим ей определение, рассмотрим основные аспекты с использованием примеров.

Движение точки по окружности. Линейная и угловая скорости точки. Центростремительное ускорение точки

blank

Движение по окружности. Уравнение движения по окружности. Угловая скорость. Нормальное = центростремительное ускорение. Период, частота обращения (вращения). Связь линейной и угловой скорости.

Движение по окружности.

Положение точки А, движущейся по окружности с постоянной по модулю скоростью v в любой момент времени t определяется углом φ между осью OX и радиус-ветором :

Уравнение движения по окружности. Угловая скорость. Нормальное = центростремительное ускорение. Период, частота обращения (вращения). Связь линейной и угловой скорости:

Угловая скорость [ω] = 1 рад/с = 1 с -1 это: Отношение углового перемещения Δφ за промежуток времени Δt к этому промежутку:

  • Угловая скорость [ω] = 1 рад/с = 1 с-1 это: Отношение углового перемещения Δφ за промежуток времени Δt к этому промежутку

Кинематическое уравнение движения тела по окружности с постоянной по модулю скоростью :

Кинематическое уравнение движения тела по окружности с постоянной по модулю скоростью

    • где: φ – угол, ω – угловая скорость

    Нормальное (центростремительное) ускорение: /> характеризует быстроту изменения вектора линейной скорости. Вектор />всегда направлен к центру окружности, выражается так:

    • Нормальное (центростремительное) ускорение: характеризует быстроту изменения вектора линейной скорости. Вектор всегда направлен к центру окружности, выражается так

    Период обращения (вращения) [Т] = 1 с это: Время одного оборота. Если точка совершает N обращений за время t, то:

    • Период обращения [Т] = 1 с это: Время одного оборота. Если точка совершает N обращений за время t, то

    Частота обращения (вращения) [n] = 1/c = 1 с -1 это: Сколько оборотов совершается за единицу времени = Величина равная числу оборотов в секунду:

    • Частота обращения (вращения) [n] = 1/c = 1 с-1 это: Сколько оборотов совершается за единицу времени = Величина равная числу оборотов в секунду

    Связь линейной и угловой скоростей между собой и с периодом обращения:

    Равномерное вращение

    Если тело за равные промежутки времени поворачивается на один и тот же угол, то такое вращение называют равномерным. При этом модуль угловой скорости находят как:

    где $(varphi)$ – угол поворота, t – время, за которое этот поворот совершён.

    Равномерное вращение часто характеризуют при помощи периода обращения (T), который является временем, за которое тело производит один оборот ($Delta varphi=2 pi$). Угловая скорость связана с периодом обращения как:

    С числом оборотов в единицу времени ($
    u) угловая скорость связана формулой:

    Понятия периода обращения и числа оборотов в единицу времени иногда используют и для описания неравномерного вращения, но понимают при этом под мгновенным значением T, время за которое тело делало бы один оборот, если бы оно вращалось равномерно с данной мгновенной величиной скорости.

    Основные понятия

    Угловое ускорение – величина, характеризующая изменение скорости с течением времени.

    Пусть рассматриваемый промежуток времени это: Δ t = t 1 – t , а изменение угловой скорости составит Δ ω = ω 1 – ω , тогда числовое значение среднего углового ускорения за тот же интервал времени: ε = ∆ ω ∆ t = ε . Перейдем к пределу, когда Δ t > 0 , тогда формула углового ускорения будет иметь вид: ε = l i m ∆ t → 0 ∆ ω ∆ t = d ω d t = d 2 φ d t = ω ˙ = φ ¨ .

    Числовое значение ускорения в заданный момент времени есть первая производная от угловой скорости или вторая производная от угла поворота по времени.

    Размерность углового ускорения 1 T 2 (т.е. 1 в р е м я 2 ). Укажем также, в чем измеряется угловое ускорение: за единицу измерения стандартно принимается р а д / с 2 или иначе: 1 с 2 ( с – 2 ) .

    Ускоренное вращение тела – это вращение, при котором угловая скорость (ее модуль) возрастает с течением времени.

    Замедленное вращение тела – это вращение, при котором угловая скорость (ее модуль) убывает с течением времени.

    В общем, довольно просто заметить, что, если ω и ε имеют одинаковые знаки, наблюдается ускоренное вращение, а, когда противоположные знаки – замедленное.

    Основные понятия

    Рисунок 1 . Вектор углового ускорения

    Если мы представим угловое ускорение как вектор ε → = d ω → d t , имеющий направление вдоль оси вращения, то в случае ускоренного вращения ε → и ω → совпадут по направлениям (левая часть
    рисунка 1 ) и будут противоположны по направлениям в случае замедленного вращения (правая часть
    рисунка 1 ).

    Угловая скорость.

    Рассмотрим равномерное вращение точки в декартовой системе координат. Поместим начало координат в центре окружности (рис. 1 ).

    Рис. 1. Равномерное движение по окружности

    Пусть – начальное положение точки; иными словами, при точка имела координаты . Пусть за время точка повернулась на угол и заняла положение .

    Отношение угла поворота ко времени называется угловой скоростью вращения точки:

    Угол , как правило, измеряется в радианах, поэтому угловая скорость измеряется в рад/с. За время, равное периоду вращения, точка поворачивается на угол . Поэтому

    Сопоставляя формулы (1) и (3) , получаем связь линейной и угловой скоростей:

    Формула, связывающая линейную и угловую скорости

    Линейная скорость $ar$ точки А (рис.1), которая расположена на расстоянии R от оси вращения связана с вектором угловой скорости следующим векторным произведением:

    где $ar$ – перпендикулярная к оси вращения компонента радиус-вектора точки $A (ar)$ (рис.1). Вектор $ar$ проводят от точки, находящейся на оси вращения к рассматриваемой точке.

    Закон равнопеременного вращения

    Равнопеременное вращение – вращение, при котором угловое ускорение во все время движения является постоянным ( ε = c o n s t ) .

    Выведем формульно закон равнопеременного вращения. Пусть в начальный момент времени t 0 угол вращения равен ϕ = ϕ 0 ; угловая скорость – ω = ω 0 (т.е. ω 0 является начальной угловой скоростью).

    Выражение ε = d ω d t = ω ˙ = φ ¨ дает нам возможность сделать запись: d ω = ε d t . Проинтегрируем левую часть крайней записи в пределах от ω 0 до ω , а правую – в пределах от 0 до t , тогда:

    ω = ω 0 + ε t , d φ = ω 0 d t + ε t d t .

    Проинтегрируем вторично и получим формулу, выражающую закон равнопеременного вращения:

    Закон равнопеременного вращения: φ = φ 0 + ω t + ε t 2 2 .

    Вращение является равноускоренным, когда ω и ε имеют одинаковые знаки.

    Вращение является равнозамедленным, когда ω и ε противоположны по знаку.

    Угловое ускорение имеет связь с полным и тангенциальным ускорениями. Пусть некоторая точка вращается неравномерно по окружности с радиусом R , тогда: α r = ε R . Нормальное ускорение имеет также связь с угловым: a n = ω 2 R . Учтем это выражение и для полного ускорения получим: a = a r 2 + a n 2 = R ε 2 + ω 4 Для равнопеременного движения: ω = ε t ; a n = ω 2 R = ε 2 t 2 R и a = R ε 2 + ε 4 t 4 = R ε 1 + ε 2 t 4 .

    Самые популярные записи

    • blankНаука. Основные особенности научного мышления. Естественные и социально гуманитарные науки (1 973)
    • blankСвобода и необходимость в человеческой деятельности. Свобода и ответственность. (1 527)
    • blankЕГЭ по обществознанию: мышление и деятельность; потребности и интересы (1 492)
    • blankОбъединение русских земель вокруг Москвы. Создание единого Русского государства (1 387)

    Закон движения.

    Найдём теперь зависимость координат вращающейся точки от времени. Видим из рис. 1 , что

    Но из формулы (2) имеем: . Следовательно,

    Формулы (5) являются решением основной задачи механики для равномерного движения точки по окружности.

    Единицы измерения угловой скорости

    Основной единицей измерения угловой скорости в системе СИ является: [$omega$]=рад/с

    В СГС: [$omega$]=рад/с

    Практические примеры

    На рисунке 2 заданы различные типы вращения гироскопа (волчка). С учетом соответствующих подписей необходимо указать, какой рисунок верно демонстрирует направление углового ускорения.

    Практические примеры

    Решение

    Правило буравчика (правого винта) связывает направление вращения и псевдовектор угловой скорости. Рисунки 2 . 1 . и 2 . 3 . показывают направление псевдовектора вверх, а рисунки 2 . 2 . и 2 . 4 . – вниз.

    Когда угловая скорость возрастает, ее приращение и вектор ускорения совпадут с вектором угловой скорости (рисунки 2 . 1 . и 2 . 4 . ). Когда угловая скорость будет уменьшаться, ее приращение и вектор ускорения окажутся противоположно направлены вектору угловой скорости (рисунки 2 . 2 . и 2 . 3 . ). Таким образом, все рисунки демонстрируют верное направление углового ускорения.

    Пусть задана некоторая материальная точка, совершающая движение по окружности с радиусом R . При этом выражение ϕ = α t 3 отражает зависимость угла поворота от времени. Необходимо найти полное ускорение заданной точки как функцию времени.

    Решение

    Запишем выражения для угловой скорости и углового ускорения заданной точки:

    ω = d φ d t = 3 α t 2 ; ε = 6 α t .

    Полное ускорение запишем как:

    a = a r 2 + a n 2 = R ε 2 + ω 4 = R 36 a 2 t 2 + 81 a 4 t 8 = 3 a t R 4 + 9 a 2 t 6 .

    Помощь

    © 2021 StudyWay. Все права защищены.

    Ты можешь попробовать 3 наших закрытых занятия из курса «Прорыв».
    Записаться можно через Instagram

    Для этого напиши в Direct (в личку) кодовое слово «Пробный«

    Центростремительное ускорение.

    Теперь нас интересует ускорение вращающейся точки. Его можно найти, дважды продифференцировав соотношения (5) :

    С учётом формул (5) имеем:

    Полученные формулы (6) можно записать в виде одного векторного равенства:

    где – радиус-вектор вращающейся точки.

    Мы видим, что вектор ускорения направлен противоположно радиус-вектору, т. е. к центру окружности (см. рис. 1 ). Поэтому ускорение точки, равномерно движущейся по окружности, называется центростремительным.

    Кроме того, из формулы (7) мы получаем выражение для модуля центростремительного ускорения:

    Выразим угловую скорость из (4)

    и подставим в (8) . Получим ещё одну формулу для центростремительного ускорения:

    Примеры решения задач

    Задание. Движение тела с неподвижной осью задано уравнением $varphi=2 t-4 t^$, $(varphi)$ в рад, t в сек. Начало вращения при t=0 c. Положительным считают углы указанные направлением стрелки (рис.2). В каком направлении ( относительно часовой стрелки поворачивается тело) в момент времени t=0,5 c.

    Решение. Для нахождения модуля угловой скорости применим формулу:

    Используем заданную в условии задачи функцию $varphi(t)$, возьмем производную от нее по времени, получим функцию $omega(t)$:

    Вычислим, чему будет равна угловая скорость в заданный момент времени (при t=0,5 c):

    Ответ. В заданный момент времени тело имеет угловую скорость равную нулю, следовательно, она останавливается.

    Формула угловой скорости не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

    Задание. Скорости вращения тела заданы системой уравнений:

    где $ar$ и $ar$ – единичные ортогональные векторы. На какой угол $(varphi)$ поворачивается тело за время равное 3 с?

    Решение. Определим, какова функция, которая связывает модуль скорости вращения тела и время (t) ($omega(t)$). Так как вектора $ar$ и $ar$ перпендикулярны друг другу, значит:

Оцените статью
Рейтинг автора
4,8
Материал подготовил
Максим Коновалов
Наш эксперт
Написано статей
127
А как считаете Вы?
Напишите в комментариях, что вы думаете – согласны
ли со статьей или есть что добавить?
Добавить комментарий

Adblock
detector